300年以上前に残された数学界最大の難問とワイルズらによる解決(フェルマーの最終定理)【VOICEVOX】【サイエンス夜話】

2022/05/27 に公開
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フェルマーの最終定理は,17世紀フランスの裁判官ピエール・ド・フェルマーによって残され,その後300年以上に渡って未解決だった数論の有名な問題です.数学の未解決問題は専門的な内容すぎるため分野外の人間に理解することは難しいものもありますが,フェルマーの最終定理は小学生でも理解することができ,一見すると簡単な整数論の証明が問われているように思われます.

フェルマーは裁判所の仕事に従事するかたわら,趣味として数学の世界に没頭していました.彼に影響を与えたのが,古代ギリシャの数学者ディオファントスが書いた『算術』という書籍でした.『算術』には100を越える問題が掲載されていて,それらに対する詳しい解説が添えられていました.フェルマーはそれらを楽しむ中で,もっと難しい問題を思いつくこともありました.フェルマーはそれらの問題やその解法の一部を,『算術』の各ページの余白に記していきました.ただ,ディオファントスのように丁寧な説明を残すことはしませんでした.

そうした書き込みの一つがフェルマーの最終定理です.フェルマーは『算術』を読む中で,ピタゴラスの定理に関する詳しい解説に出会います.三つの自然数の組が無限に存在することなど,さまざまな記述を読む中で,そこにこれまで見落とされてきた何かを発見できないかとピタゴラスの方程式をいじりはじめたのかもしれません.

そうしてフェルマーは,『算術』の余白に自らの考えを記しました.

一般に,二乗よりも大きいベキの数を,同じベキの二つの数の和で表すことはできない.

つまり,x^n + y^n = z^nという方程式を満たすような自然数(x, y, z)の組は,nが2より大きい自然数の場合には存在しないということを言っています.

そしてフェルマーは,その後300年以上にも渡って人類を悩ませることになるこの書き込みを次のように締めくくりました.

私はこの命題の真に驚くべき証明をもっているが,余白が狭すぎるのでここに記すことはできない.

この発見は,フェルマーによって発表されることはありませんでした.フェルマーが亡くなった後,フェルマーが趣味で数学に取り組んでいたことを知っていた息子のクレマン・サミュエル・フェルマーによって,フェルマーの数学資産は整理されました.クレマン・サミュエルは,5年かけて『算術』の余白に残された走り書きを吟味し,それらをまとめて『算術』の特別版として出版しました.そこにはフェルマーによる48の所見が添えられていました.

ただ,フェルマーの残した所見には,まったく説明がないか,証明をうかがわせるわずかなヒントが示されているだけでした.その後,数学者たちによってそれらの所見は少しずつ証明されていきましたが,ひとつだけ証明されずに残されました.それがフェルマーの最終定理です.

証明が難しいことは,その定理の重要性を意味するわけではありません.実はフェルマーの最終定理はつい最近まで,証明したところで数学的に深い真理や洞察が得られるわけではなく,何らかの別の予想を証明する上で重要な役割を担うわけでもないため,それほど重要ではないと考えられていました.

ただ,その後の研究によって,楕円方程式とモジュラーという全く異なると考えられていた数学の分野をつなぐ谷山=志村予想が発表され,その証明によってフェルマーの最終定理も自動的に証明されることが判明しました.そして,コリヴァギン=フラッハ法やガロア群といった最先端のテクニックを駆使することで,20世紀の終わりについに証明されることになりました.

今回は300年以上に渡って数学者だけでなく多くの人たちを魅了した問題であるフェルマーの最終定理について紹介していきます.


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▼▼▼ 目次 ▼▼▼
0:00 導入
5:30 オイラーによるn=3の場合の証明
9:11 n=5およびn=7の場合の証明
15:26 コンピュータによる証明の限界
20:59 谷山=志村予想
27:06 フライの予想とリベットによる証明
29:49 ワイルズによる挑戦
36:04 宮岡による挑戦
39:10 コリヴァギン=フラッハ法
43:27 ワイルズの証明と挫折
47:31 ワイルズらによる完全な証明


▼▼▼ 関連動画 ▼▼▼
【フェルマーの最終定理①】300年前に天才が残した数学界最大の難問 - 中田敦彦のYouTube大学
https://youtu.be/38U0Mhp3MbQ

【フェルマーの最終定理②】天才が残した300年前の難問に終止符 - 中田敦彦のYouTube大学
https://youtu.be/12C8J7u6KKo

【ゆっくり解説】多くの数学者の人生を狂わせた「300年前の天才が残した世界最大の難問」-フェルマーの最終定理- -
るーいのゆっくり科学
https://youtu.be/nvpljnmthCE

フェルマーの最終定理(n=4)の証明【無限降下法】 - 予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」
https://youtu.be/S9l-ZOHPabk

Fermat's Last Theorem: フェルマーの最終定理
https://youtu.be/se7s17x39eA


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VOICEVOX:冥鳴ひまり

#フェルマーの最終定理 #数学 #フェルマー