【1本の補助線が全てを解決！】あなたはひらめく？気づけは一撃で解ける図形の良問【中学受験の算数】

【 難易度：★★☆☆☆ 】

2023年の昭和学院秀英中学の入試問題です。

▼重要な解法ポイント
(1) ステップ1: 問題の前提条件を確認しましょう。三角形ABCがあり、辺の長さはAB=9cm、BC=10cm、CA=7cmです。点Dは辺BC上にあり、BD=3cmです。また、点Pは辺CA上にあり、直線DPが三角形ABCの面積を2等分します。

(2) ステップ2: 三角形の面積を2等分するということは、三角形ABDと三角形CPDの面積が等しいということです。BDが3cmで、BCが10cmなので、DCは7cmです。

(3) ステップ3: 重要なエッセンスを理解しましょう。高さが等しい2つの三角形では、底辺の長さの比が面積の比になります。つまり、底辺が2倍になれば面積も2倍になるということです。

(4) ステップ4: 補助線BPを引きます。これにより、三角形BPDと三角形CPDができ、どちらも高さが等しい三角形になります。底辺の長さの比が面積の比になるので、BDが3cmならば、CPは7cmになります。

(5) ステップ5: 三角形ABCが直線DPによって2等分されているので、三角形ABDPの面積は三角形CPDと等しくなります。ABDPが7部分あるとすると、BPDが3部分なので、ABPは7部分から3部分を引いた4部分になります。

(6) ステップ6: 三角形ABPと三角形CBPを比較します。これらは高さが等しい三角形です。面積の比がABPが4部分、CBPが10部分（7部分+3部分）なので、面積の比は4対10、簡単にすると2対5になります。

(7) ステップ7: 高さが等しい2つの三角形では、面積の比が底辺の長さの比になります。したがって、ACの長さが7cmであることから、APとCPの長さの比も2対5になります。

(8) ステップ8: ACの長さが7cmなので、1部分は1cmです。CPが5部分なので、CPの長さは5cmになります。

(9) ステップ9: 以上のステップに従って、CPの長さが5cmであることが求められます。この問題は、高さが等しい2つの三角形の底辺の長さの比が面積の比になるという考え方を理解していれば解くことができます。

（この概要欄はAIによって生成されています）

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